理论物理学

作者:时间:2018-12-08点击数:


理论物理学

现在,我们来谈谈数学向人类文明的其它结晶(科学)的渗透。先来看物理学,18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时代,19世纪数学主要应用于电磁学,产生了剑桥大学数学物理学派,其中最具代表性的成就是麦克斯韦(Maxwell,1831—1879)建立的电磁学方程组,由4个简洁的偏微分方程组成。据说麦克斯韦最初得到的方程组比较复杂,因为他相信表达物理世界的数学应该是美的,因而推倒重来。
  麦克斯韦是苏格兰人,这个流行男子穿格子短裙的民族所产生的伟大发明家按人口比例堪称世界之最。在麦克斯韦之前有(实用)蒸汽机发明人瓦特(Watt,1736—1819),之后有电话发明人亚历山大·贝尔(Bell,1847—1922)、胰岛素发明人麦克劳德(Macleod,1876—1935,与人合作)、青霉素发明人弗莱明(Fleming,1881—1955)、电视发明人贝尔德(Baird,1888—1946)。
  此外,还有第一个将经济理论完整化和系统化的亚当·斯密(Adam Smith,1723—1790)。斯密的代表作《国富论》的中心思想是:看似混乱的自由市场实际上有一种自动调控机制,它倾向于以最合适的数量生产那些社会上最受欢迎和最需要的产品。
  进入20世纪以后,数学相继在相对论、量子力学以及基本粒子等理论物理学领域得到应用。1908年,德国数学家闵可夫斯基提出了空间和时间的四维时空结构R(3,1),即通过(c为真空中的光速)。
  为爱因斯坦(Einstein,1879—1955)的狭义相对论(1905)提供了最适用的数学模型,这种结构后来被称为“闵可夫斯基空间”。有趣的是,闵可夫斯基对他早年的学生爱因斯坦的数学才能却毫无印象。

有了这个模型以后,爱因斯坦又进一步研究了引力场理论。等到1912年夏天,他已经概括出这一理论的基本原理,可是由于他只会使用一些最简单的数学工具,甚至微积分的方法也不会用(他自称那样会使读者被惊呆),自然难以提炼出方程来。这个时候爱因斯坦在苏黎世遇到一位数学家,后者帮助他学会了以黎曼几何为基础的微分学,后来他把它叫作“张量分析”。经过三年多的努力,在1915年11月25日发表的一篇论文中,爱因斯坦给出了引力场方程:
  其中gμv是度量张量,k为常数。爱因斯坦指出,“有了这个方程,广义相对论作为一种逻辑结构终于成立了!”
  值得一提的是,虽然爱因斯坦在1915年创立了广义相对论,但他的工作成果发表于1916年。巧合的是,几乎是同时,另一个德国人、数学家希尔伯特沿着另一条道路也得到了上述引力场方程。希尔伯特采用的是公理化方法,同时运用了诺特关于连续群的不变量理论。他向哥廷根科学院提交这篇论文的时间是1915年11月20日,发表论文的时间也比爱因斯坦早了5天。
  依照爱因斯坦的广义相对论,时空整体上是不均匀的,只在微小的区域内例外。在数学上,这个非均匀的时空可以借助下列的黎曼度量来描述:
  广义相对论的这个数学描述第一次揭示了非欧几何学的现实意义,也成为历史上最伟大的数学应用例子之一。可是,与建立万有引力定律的牛顿相比,爱因斯坦稍显逊色,因为牛顿力学的数学基础——微积分是由牛顿自己创立的。
  与相对论不同,量子力学与一群物理学家的名字相联系。普朗克(Planck,1855—1947)、爱因斯坦、玻尔(Bohr,1855—1962)是开拓者,薛定谔(Schrödinger,1887—1961)、海森堡(Heisenberg,1901—1976)、狄拉克等分别以波动力学、矩阵力学和变换理论的形式建立起量子力学。为了将这些理论融合成统一的体系,需要新的数学理论。希尔伯特使用积分方程等分析工具,冯·诺依曼进一步借助希尔伯特空间理论,去解决量子力学的特征值问题,并最终将希尔伯特的谱理论推广到量子力学中经常出现的无界算子情形,从而奠定了这门学科的严格的数学基础。
  在20世纪下半叶,还有多项物理学的工作需要应用抽象的纯粹数学,例如著名的规范场理论和超弦理论。1954年,杨—米尔斯理论的提出揭示了规范不变性可能是自然界中所有4种力(电磁力、引力、强力和弱力)相互作用的共性,这使得已经存在的规范场理论重新引起人们的注意,并试图用这个理论来统一自然力的相互作用。
  结果,数学家们很快发现,统一场论所需要的数学工具——纤维丛微分几何早就有了,杨—米尔斯方程实际上是一组偏微分方程,对它们的进一步研究也推动了数学的发展。1963年被证明的阿蒂亚—辛格指标定理也在杨—米尔斯理论中获得重要应用,成为连接纯粹数学和理论物理的又一座桥梁,其研究方法涉及分析学、拓扑学、代数几何、偏微分方程和多复变函数等诸多核心数学分支,因而常被用来论证现代数学的统一性。
  超弦理论或弦理论兴起于20世纪80年代,它把基本粒子看作一些伸展的一维弦线般的无质量的实体(其长度约为10–33厘米,被称为普朗克长度),以代替其他理论中所用的在时空中无尺寸的点。这个理论以引力理论、量子力学和粒子相互作用的统一数学描述为目标,成为数学家与物理学家携手合作的一个最活跃的领域,其中所用到的数学涉及微分拓扑、代数几何、微分几何、群论、无穷维代数、复分析和黎曼曲面上的模理论等。可以想象,与它相联系的物理学家和数学家不计其数。

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